2 arcosh ⁡ x = arcosh ⁡ ( 2 x 2 − 1 )  với  x ≥ 1 4 arcosh ⁡ x = arcosh ⁡ ( 8 x 4 − 8 x 2 + 1 )  với  x ≥ 1 2 arsinh ⁡ x = arcosh ⁡ ( 2 x 2 + 1 )  với  x ≥ 0 4 arsinh ⁡ x = arcosh ⁡ ( 8 x 4 + 8 x 2 + 1 )  với  x ≥ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)&\quad {\hbox{ với }}x\geq 1\\4\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ với }}x\geq 1\\2\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)&\quad {\hbox{ với }}x\geq 0\\4\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ với }}x\geq 0\end{aligned}}} ln ⁡ ( x ) = arcosh ⁡ ( x 2 + 1 2 x ) = arsinh ⁡ ( x 2 − 1 2 x ) = artanh ⁡ ( x 2 − 1 x 2 + 1 ) {\displaystyle \ln(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)}